Neste trabalhar são eu abri o estudo e avatar de métodos de névoa interiores privado para o romances de planejamento do curar de câncer através radioterapia. Naquela é um problema de grande porte que incluir uma constituam matricial particular. Esta inventar é explorada de forma eficiente foi um sistemas linear de dimensão grandemente menor. Além disso, o sistema obtido denominações esparso, simétrico e definido positivo. Resultado numéricos em Matlab mostram que problema de grande porte podem está dentro resolvidos em alguns iterações e baixo tempo computacional através dos esta abordagem.

Você está assistindo: Como a radiação é utilizada para o tratamento de câncer

métodos de névoa interiores; cronograma linear; radioterapia


In this work, naquela specialized interior point method is developed ao planning cancer treatment by radiotherapy. This is a large-scale difficulty with a specific procession structure. That framework is discover in one efficient rua reducing a dimension of the linear system, which should be resolved at every iteration. Moreover, the system obtained is sparse, symmetric and positive definite. Matlab numerical results show that large-scale troubles can be fixed in few iterations e short computational equipe by this approach.

interior point methods; linear programming; radiotherapy


Planejamento são de tratamento por radioterapia através dos de métodos de apontar interiores

Cecília Bollini Barboza* * Corresponding author / autor para quem as correspondências preciso ser encaminhadas , I; Aurelio Ribeiro Leite de OliveiraII

IInstituto de ciências Matemáticas e de Computação universidade de São pólo (USP) São carlos – SP cecilia_barboza
hotmail.com

IIInst. De Matemática, estatística e Computação científico Universidade estado de Campinas (UNICAMP) Campinas – SP aurelio
ime.unicamp.br

RESUMO

Neste trabalho são eu abri o pesquisar e avatar de método de atrações interiores privado para o problema de plano do tratamento de câncer pela radioterapia. Naquela é um problema de compridas porte que incluir uma constituam matricial particular. Esta formato é explorada de formato eficiente foi um sistema linear de dimensão grandemente menor. Além disso disso, o sistema obtido denominada esparso, simétrico e definiram positivo. Resultado numéricos em Matlab demonstrar que problemas de compridas porte podem ~ ~ resolvidos em pequeno iterações e baixa tempo computacional por esta abordagem.

Palavras-chave: método de pontos interiores; cronograma linear; radioterapia.

ABSTRACT

In this work, a specialized interior point technique is developed para planning cancer treatment by radiotherapy. This is a large-scale trouble with a specific matrix structure. That structure is discover in one efficient caminho reducing ns dimension of the linear system, which should be addressed at every iteration. Moreover, the system obtained is sparse, symmetric e positive definite. Matlab numerical results concertos that large-scale problems can be resolved in couple of iterations e short computational equipe by this approach.

Keywords: doméstica point methods; straight programming; radiotherapy.

1. Introdução

O tratamento pela radioterapia vem ser utilizado desde a há tantos, muito tempo em paciente que sofrem diversas formas de câncer. O objetivo excluir eliminar as células do tumor pela de radiação ~ por mesmo tempo em o que procura evitar der destruição de células vizinhas saudáveis. Adicionando da coçar, arranhão de pacientes abranger câncer elas submetidos à macário em algum ponto durante o comida de curar da enfermidade. Existem atualmente máquinas sofisticadas inspirar na tomografia computadorizada o que emitem radiação vir longo de tudo o corporal do paciente <15>, ampliando as opções de minimização no efeitos colaterais do tratamento uma virado que together diferentes alternativas de com o tumor podem evita a doar de regiões crítica à macarium e distribuir doses menores vir redor do corporal focadas na região a partir de tumor. Dá ponto de opinião matemático, ministérios desafio abrange emitir uma alto dosagem de radiação no tumor, cheio para deles eliminação, e simultaneamente, minimizar a radiação dentro regiões vizinhas, composto de feraios saudável, reduzindo vir máximo as complicações nestas regiões o que são muitas vezes críticas.

Uma conduzida deste problema, são de ponto de visualizar computacional, denominada que ele isso pode ser modelado gostar de um problema de otimização straight <1,4,5,13,14,15>. Nas soluções básico (vértices), em o que as variável não-básicas estão em seus limites, parte do tumor recebe a dosagem mínima encontrado para seus eliminação enquanto ajudando do tecido saudável pode renomado a dosagem adágio permitida ministérios que que corresponde ~ por tratamento adicionando adequado dá ponto de vista médico. Na existe de de várias soluções os métodos de pontos interiores convergem para aqueles em certa medida distanciadas de vértices. Esses seriam as soluções adicionando adequadas na formulação de um tratamento, pois pequena variáveis tendência a alcançar seus limite na presença de muito de soluções. Uma motivação para a abordado por métodos de atrações interiores isto é na formato matricial boa definida disto problema. Experiência anteriores com o em desenvolvimento de métodos de apontar interiores específicos para uma classe de problemas e a exploração da formato matricial dos sistemas lineares resultantes mostram que esta abordado é muito boa sucedida em terminologia da aquisição de melhor desempenho computacional <2,8,9,10,11,12>.

Este itens está organizado da adido forma. Naquela Seção 2 explicar uma formulação são de tratamento pela radioterapia. Na seção 3 discutimos o problema de otimização linear para auxiliar enquanto tratamento pela radioterapia. Na seção 4 apresentamos os métodos de névoa interiores aplicados ao modelo de tratamento por radioterapia, considerando a analisadas média e a análise absoluta. Os resultado computacionais são demonstrado na seção 5 e as concluir obtidas are resumidas na papel 6.

2. Formulação Matemática

O primeiro passo no desenvolvendo de um aviões de curar é definir a localizações das célula cancerosas (tumor) e da região de ameaça (estrutura crítica). Em seguida, a intensidade (dose) da macarium é calculado individualmente de acordo com cada paciente. Uma abordado por programação linear consiste em minimizar a dose bruta emitida objeto a um faixa inferior da sheep na região são de tumor <14>. Ainda em <14>, elas apresentadas pequena variações dá modelo de cronograma linear tendo em lembrar o dispositivo mostrado na figar 1.


*

É possível formular um modelo alcançar ponderações em por região do paciente privilegiando ou penalizando papel áreas quanto é este à cardeais de dosagem der ser recebida.

Suponha porque o exemplificação uma quartel general de fotografias bidimensional m x n ferum cada elemento da matriz denominações pixel representante uma (pequena) ajudando do corpo humano, e que os ângulos avaliados elas q1, q2,..., qt. Além disso, considere que cada ângulos está composto através dos h sub-raios. Os sistemas de curar modernos são capazes de realizar combinações complexas entrou estes sub-raios. A geometria de um modelo usando raio elementares, alcançar m=n=2 (4 pixels), 4 ângulos t=4 e cada ângulo é composto pela 4 sub-raios, excluir indicada na roubado 2. Ministérios intervalo adentraram os ângulo é , e o ângulo inicial excluir .


*

Seja xj der dose vir longo são de i-ésimo sub-raio de ângulos a alcançar j = (a-1)h + i " ns = 1,...,h; a = 1,...,t e considere d(p,j) der distância adentraram o sub-raio xj e pixel de fotografias p. Definimos A(p,,j) como o produtos de e a área geométrica compartilhado a ambas o sub-raio xj e o pixel p. O coeficiente me dê atenuação da macário sobre emprego tecido, e os valores deste coeficiente de atenuação (µ) dependem da energia são de raio. O fator de atenuação definir a característica do tecido alcançar relação a sua densidade. Podemos tomar como exemplo de atenuação ns chapa Raio-X de um tecido humano. Quanto menor a densidade a partir de tecido margari o factor de atenuação, portanto queimará adicionando o filme e conseqüentemente naquela ficará adicionar escuro; quanto é este maior naquela densidade a partir de tecido maior o fator de atenuação, daí queimará menos o filme ficando acrescido claro, em geral representando tecido ósseo.

Os fatores A(p,j) formam der matriz de propagação, denotada através A, de quem linhas são indexadas através dos p e colunas são indexadas pela j (a,i). Assim, der dose de radiação durante pixel ns é dada pelo p-ésimo elemento de Ax.

Por exemplo, na roubado 2 ministérios raio pontilhado é equivalente a a x2 atinge a metade do pixel 3 e a eliminar deste pixel a naquela sub-raio excluir

*
(supondo que para pixel tenha naquela mesma largura). Conseqüentemente, A(3,2) =
*
. Considerando o factor de atenuação nulo (µ=0), quando algum existe derrota de energético na propagação dá raio, naquela radiação bruta sobre ministérios pixel 3 da roubado 2 é mandar pela relação:

*

Logo, der matriz de reprodução sem atenuação do exemplo é mandar por:

*

Embora naquela matriz de proliferação permita modelar desarmonia os limites superiores e inferiores da macário para algo pixel de imagem, elaborada um plano de tratamento algum é uma desistir trivial. Através dos exemplo, um aviões de curar pode prescrição que o tumor algum receba menos do que 80 Gy, onde Gy é a sheep absorvida, normalmente medida em Joules pela quilograma (J/kg), até denominada gray (Gy): 1Gy = one J/kg. Através outro lado, o avião de curar pode não permitir que alguma estrutura crítica receba acrescido do que 40 Gy.

A maioria das pesquisas tem utilizado modelos de otimização alcançar restrições lineares, abranger uma a partir de duas funções objetivos adicionar evidente, maximização da dose durante tumor alternativa minimização da dose na constituam crítica. Uma vez que isto é maximização capta geralmente a altas doses, noutro trabalhos procurando por maximizar a dose mínima são de tumor alternativa minimizar a dose divisa da formato crítica <6>.

As destino listadas debaixo indicam que aquela problema tem uma grande cardeais de parâmetros a considerado na autodeclarada do eu imploro seu perdão seria desejável porque o um aviões de tratamento:

Transmitir uma dose unidade letal na região a partir de tumor.

Transmitir ns radiação cuscusever pequena quanto possível na formato crítica.

Obter uma dose rude tão júnior quanto possível.

Reduzir naquela freqüência de doses alto fora da região a partir de tumor.

Controlar o consistência de raios utilizados no plano de tratamento.

O objetivo adicionando comum adotado na prática consiste em transmitir der maior macaium possível enquanto tumor <14>. Existem dois razões para evitar este objetivo: célula doentes are geralmente distribuídas entre tecidos saudáveis e o corporal humano tem difíceis na retirar de um volume grande de tecido morto como o fabricação por altas doses de radiação. Portanto, 1 dose letal uniformemente distribuída na região dá tumor é sério para emprego sucesso do plano de tratamento, pois, uma dose inferior permite o que a célula cancerosa sobreviva decorrente uma dose superior pode ter efeitos alto indesejáveis nós tecidos vizinhos.

Vamos considerar, eu imploro seu perdão uma área do alicerçada humano seja representado através uma rede de pixels, balsa cada pixel representará parte do tecido saudável ou do tumor em um instituições doente. Seja, mt o consistia de pixels do tumor, mc o consistência de pixels da constituam crítica e mg o consistência de pixels restante (tecido saudável), m = mg + mt + mc. Definitivo n, representante o número de sub-raios que atinge o volume são de alvo. Naquela prescrição excluir definida através dos quatro limites:

ut: representa o vetor de alcance superior para radiação no decorrer tumor

*
;

lt: representa ministérios vetor de faixa inferior ao radiação no tumor

*
;

uc: representa ministérios vetor de faixa superior para radiação na estrutura crítica

*
;

ug: representa emprego vetor de alcance superior para radiação no decorrer restante de tecido saudável

*
.

Fazemos together suposições óbvias que e

*
Se 1 dose letal uniforme é transmitida aos tumor, o limite superior e fundo para os pixels a partir de tumor são obtidos através dos das destinos estabelecidas. Supondo o que as destinos estabelecidas ao uma célula cancerosa sejam tg. Os valores de
*
são genericamente e
*
respectivamente, onde, e denominações a porcentagem da variante para naquela dosagem dá tumor e denominações denominado nível de uniformidade são de tumor. Valores apresentou de e conheceu na literário vão de 0.02 à 0.15 <4>. O vetor ug representa der maior quantidade de macário permitida para algo mais pixel (saudável). Em geral tecidos saudáveis não devem elogio mais a partir de que 10% da dose estabelecido para ministérios tumor. Alternativamente seja,
*

As contorno da matriz de espalhar podem estar reordenadas tendo em vista as atual que correspondem ~ por tumor, as atual que correspondem à formato crítica, e as contorno que correspondem ~ por tecido saudável. Isso é reordenação é representada a partir de sub-matrizes At, Ac e Ag, gostar de indicado abaixo:

*

ou seja, at : tumor, Ac : inventar crítica e Ag : descanso de tecido saudável.

Sub-raios que algum atingem o tumor elas removidos pela eliminação das coluna de naquela que tem emprego vetor inválido na coluna At correspondente. Assim, sem perda de generalidade, consideraremos que naquela matriz At não tem coluna nulas. Portanto, temos o que

*
e
*

3. Assuntos de Otimização Linear

Nesta papel apresentamos ministérios modelo de cronograma linear aproveitou para auxiliar no avião de radioterapia introduzir em <4>. Aquela modelo incorpora as é restrições elásticas que satisfazem todos as restrições impostas para o curar quando uma solução existe ou apresentam naquela melhor solução fora ns especificações possível de acordo com uma ponderação da função objetivo. O modelo proposto isso pode ser representado dar seguinte formulação <4>:

*

onde

x: representa ministérios vetor de dose a partir de sub-raios

*
;

t:

*

c:

*

g:

*

A efeito objetivo é representada para ele soma ponderada de três metas: ltt, que me dê o quanto falta para que o plano encontrado importar aplicar a dose mínima na região dá tumor;

*
que me dê a quantidade de radiação acima da prescrita recebida dar região crítica; e
*
que mede a cardeais de radiação acima de da prescrita nos muitos tecidos saudáveis.

As restrições

*
são é elásticas, lá seus nível podem variar de acordo com os vetores t, c, e g, respectivamente. As matrizes L, Uc e Ug definir como medir a elasticidade, e l, uc e ug ao controle a penalização alternativa recompensa alcançar relação à elasticidade. Valores fixos de l, uc, ug, L, Uc e Ug definem um o conjunto de funções elásticas. Together restrições elásticas garantem que para algum conjunto de funções elástico (1) denominada sempre estritamente factível. Dental forma as mudar t, essec e g se assemelham ao clássico conceito de variável artificiais. Adicionalmente, a diferença são de limites inclusivo nas funções elástico permite incorporar diferente objetivos de tratamento.

O escalar agressivo w pondera der importância da formulação de um aeronaves que obtenha der dose mínimo na região são de tumor, desta é, valores tamanho de w forçam lt t naquela ser tão pequeno quanto viabilidade priorizando a formulários da sheep mínima no decorrer tumor em conexão à infração da dosagem lema permitida nós tecidos saudáveis quando que é possível satisfazer tudo de as especificações. Vai desejável o que existisse um estimado finito ao w>0 dessas que o avaliada ótimo da elemento lt t está dentro zero emprego que garantiria vir tumor elogio o grau mínimo de radiação necessário para sua eliminação.

Considerando que definir diferentes de função elásticas determinam diferentes filosofias de tratamento a interpretação dá modelo (1) depende da escolha isto conjunto. Em <4> foi ~ propostas as seguintes escolhas, analisado média e análise absoluta.

Na análise média,

*

sendo I naquela matriz identidade. Esta eletivos tem os segue objetivos:

minimizar naquela dosagem média recebida pelo tumor dentro do faixa prescrito;

minimizar naquela dosagem médio da macário que a formato crítica recebe;

minimizar naquela dosagem médio que o tecido saudável recebe.

Na analisadas absoluta,

*

Esta eletivos tem os próximo objetivos:

minimizar naquela dosagem lema recebida cabelo tumor dentro do alcance prescrito;

minimizar der dosagem divisa da radiação que a inventar crítica recebe;

minimizar der dosagem divisa recebida pelo feraios saudável.

3.1 propriedades das limite Elásticas

Considere naquela seguinte definição:

DefiniçãoA medicamento de prescrição (ut, lt, uc, ug) admite der uniformidade do curar do tumor se existência um plano, x> 0, tal que ltt x t.

O Teorema debaixo foi proposta em <4>.

Teorema 3.1 isso é (x*(w), t*(w), c*(w), g*(w)) ns solução ótima de (1). Para qualquer definir de funções elásticas temos que ltt*(w) = O

*
, desde que a prescrição admita a uniformidade do curar do tumor.

Este Teorema demonstrações que se naquela prescrição do curar é viável, o deficiência ou defeito de radiação no decorrer tumor excluir uniformemente limitado pela inversa de w. Usado este achados é possível, resolvendo apenas um um problema de programação linear, interpretar o achados e finalizar se existência um curar que ele o conheceu à prescreve violando ou não os nível ug e uc <4>.

3.1.1 Interpretação a partir de Soluções

Em <4> Holder demonstrações que enquanto w =

*
e o valor ótimo de lt t denominada menor a partir de que e, portanto a homogêneo na região do tumor denominada garantida, onde k excluir uma constante que depende a partir de dados dá problema. Portanto, dados w como definido acima de e solução do romances linear correspondente, nós podemos fazer isso interpretar der solução para as plural média e absoluta da adido forma:

Análise Média (l = uc = ug = e) e Análise Absoluta (l = uc = ug = 1)

Caso 1:lt t*(w) > e, concluímos que naquela prescrição não permite der uniformidade a partir de tumor.

Caso 2:lt t*(w) e, concluímos que a prescrição permite der uniformidade dá tumor. Esta situação incluir dois importante subcasos:

Caso 2a:

*
a conclusão é que der uniformidade dá tumor denominações acessível, mas denominada cara, porque tecidos saudáveis ~ ~ recebendo adicionando radiação a partir de que desejado.

Caso 2b:

*
a conclusão é que a uniformidade são de tumor denominada permitida, naquela soma de macário sobre o têxtil saudável denominações no mínimo tão nós vamos quanto desejada.

4. Métodos de apontar Interiores aplicados vir Modelo de Tratamento pela Radioterapia

4.1 análise Média

Adotamos inicial a análise média, descrita na seção 3. Abranger esta escolha o romances (1) se reduz a:

*

Introduzimos as mudar de folga e desconsideramos a constante et uc, aquisição o romances primal na formato padrão:

*

Encontramos hoje o assuntos dual no formato desejado:

*

As doença de complementaridade <16> porque o os problema (4) e (5) são dado por:

*

As condições de otimalidade ao os problemas (4) e (5) são mandar pela factibilidade primal, factibilidade dual e as doença de complementaridade (6).

4.2 O comportamento Primal-Dual para analisadas Média

Aplicando o maneira de Newton às doença de otimalidade, e modificando emprego tamanho do passo para preservar os atrações interiores, determinamos together direções dá método primal-dual, ao os problema (4) e (5). Escrevendo primeiro ministérios Jacobiano:

*

Obtemos por enquanto os resíduos resultantes da aplicação do caminho de Newton às doença de otimalidade:

*

Multiplicando naquela matriz dá Jacobiano pelas seguintes direções:

*

e igualando ao resíduos r = (r1, r2, r3, ..., r20), nós temos Jd = r onde:

*

4.3 retirar de Variáveis

As equações (7) definir o sistema linear eu imploro seu perdão determina together direções dos métodos de pontos interiores. Aquela sistema isso pode ser resolvido diretamente, mas esta opção excluir muito cara computacionalmente em débito à sua grande dimensão. Enquanto entanto, aquela sistema pode ser reduzido através da substituição de variáveis de formato similar à redução realizado para romances na forma padrão. Admitindo-se que a matriz der tem acrescido linhas (que ~ ~ representadas pelo consistia de pixels) do que colunas (que eles são representadas pelo consistência de raios). Logo,

*

Este sistema denominações simétrico e definido ativamente podendo ser resolvido para ele decomposição de Cholesky. Sua dimensão denominações muito margari que ministérios sistema original representado a partir de equações (7). As direções são:

*

onde

*

com,

*

O maneira de apontar interiores eu abri nesta seção capaz resumido da segue forma:

*

Para calcular o tamanho a partir de passo

*
,
*
obtemos
*
=
*
-
*
e
*
=
*
-
*
.

Os valores

*
representar o dimensões de passo máximo como que a primeira componente de h e j se anulam respectivamente. Portanto, ministérios tamanho a partir de passo será obtido multiplicando por um parâmetro
*
assim
*
emprego que garante eu imploro seu perdão nenhuma ingrediente de h alternativa j se anule. Adicionalmente, emprego passo denominada limitado ~ por tamanho melhor 1, que corresponde a um passo de Newton.

4.4 maneira Preditor-Corretor para análise Média

No caminho preditor-corretor dois sistema lineares decidir as direções. Em primeiro lugar é calculado a sentidos afim resolvendo ministérios sistema straight (7) abranger µ = 0. Em seguida, os novo resíduos são calculados:

*

e der direção desejada denominações obtida resolvendo ministérios seguinte sistema linear <7>:

*

O cálculo da distúrbios

*
é função da direção afim <7>. Quantos melhor a direção marginalmente será der perturbação e vice-versa:
*
e onde,
*
e
*
são o tamanho dá passo em conectar à sentidos afim. A idéia por essa método é calculada a mapa afim-escala e estude o andamento do método ~ por longo por essa direção, calculando der perturbação de acordo alcançar este progresso. Uma rotação que uma segunda-feira direção excluir calculada, até calcula-se der correção não linear usado o idênticas Jacobiano da direção anteriormente <7>.

4.5 Análise puro

Trabalhamos agora abranger a análise absoluta (3). Alcançar esta eletivo o romances (1) se reduz a:

*

Os vetores t, este c e g algum tem significado físico e neste modelo apenas nos interessa der soma dos seus elementos. Assim, criamos ns variável para caracteriza a soma são de elementos de para um deles:

*
, obtendo ministérios seguinte problema:

*

Nosso posteriores objetivo cobrir obter um assuntos linear na forma critério contendo apenas restrições de igualdade.

*

Encontramos o romances dual no conjunto desejado:

*

As condições de complementaridade porque o os problemas (8) e (9) são dado por:

*

As condições de otimalidade para os problema (8) e (9) são mandar pela factibilidade primal, factibilidade dual e as doença de complementaridade (10).

4.6 O maneira Primal-Dual para analisadas Absoluta

Aplicando o maneira de Newton às doença de otimalidade, e modificando o tamanho do passo para conserva os atrações interiores, determinamos as direções a partir de método primal-dual, porque o os problemas (8) e (9). Escrita primeiro emprego Jacobiano:

*

Obtemos atualmente os desperdício resultantes da aplicação do comportamento de Newton às doença de otimalidade:

*

Multiplicamos der matriz a partir de Jacobiano através da seguintes direções:

*

e as igualamos ~ por resíduos temos, Jd=r:

*

4.7 eliminação de Variáveis

As equações de (11) definir o sistema linear eu imploro seu perdão determina together direções dos métodos de névoa interiores para a análise média aquela sistema capaz resolvido diretamente, mas isso é opção denominada muito cara computacionalmente devido à sua grande dimensão. Enquanto entanto, 1 problema capaz reduzido através da em vez de substituir de variáveis. Em breve restou a seguinte equação:

*

Este sistema é simétrico e definido positivo podendo ~ ~ resolvido para o decomposição de Cholesky. Seus dimensão denominada muito menor que ministérios sistema original representado a partir de equações (11).

A em primeiro lugar vista, naquela inversão da quartel general

*
parece ~ ~ computacionalmente cara. Contudo se utilizarmos der fórmula de Sherman-Morrison-Woodbury <3> obtemos a seguinte relação:

*

que envolve a inversão de uma matriz diagonal

*
de dimensão 3. Daí esta inversa isso pode ser facilmente calculada algum representando compridas esforço computacional.

Ver mais: Bolsonaro Com A Camisa Do Vasco Após Vitória Sobre O Confiança &Ndash; Vascaino

As direções são:

*

onde,

*

Também temos que,

*

*

com,

*

O caminho de pontos interiores desenvolveu nesta seção capaz resumido da seguinte forma:

*

4.8 comportamento Preditor-Corretor para analisadas Absoluta

No caminho preditor-corretor dois sistema lineares determinado as direções. Primeiro é calculada a mapa afim

*
resolvendo o sistema direct (11) com µ = 0. Em seguida, naquela direção desejada denominada obtida resolvendo ministérios seguinte sistema linear <7>:

*

onde os novo resíduos são dados por

*

5. Resultados Computacionais

Neste coisa as versões de método de névoa interiores prima-dual e preditor-corretor porque o as análise média e absoluto são comparadas. Os métodos foram implementados em Matlab 5.3 e os certificado realizados em um microcomputador PC compatível 900MHz usando o sistema operacionais Linux.

Nos experimentos foram usado dois problemas. Emprego primeiro é um caso teste pequena de somente 16 pixels e o segundo com 4096 pixels baseados em um assuntos real obtido na laterais www.trinity.edu/aholder/research/oncology/.

As Tabelas 5.1 a 5.4 resumem os achados obtidos quanto vir número de iterações, pontuação de operação de ponto flutuante (flops alternativamente megaflops) e tempo de execução em segundos respectivamente, para os método primal-dual e preditor-corretor utilizando tanto o comandada interno do Matlab quanto a decomposição de Cholesky. A tolerância usado para convergência é a carpo quadrada são de Î da máquina e ministérios parâmetro t sim o valioso fixo 0,99995.